Контакты jokoil@mail.ru КАРТА САЙТА English

Энергодинамическая система физических величин и понятий

(ЭСВП)


Не смешивать с СИ, унифицирующей ЕДИНИЦЫ измерений (разъяснение).

На Главную

Кому и зачем это нужно?

СТУДЕНТАМ на ЗАМЕТКУ

Разъяснение основных терминов

Формы и виды энергии

Условия успешной систематизации

Классификация физических систем

Основная идея системы

Таблицы физических величин

В чем новизна сайта?

     Формы и виды движения

     Подробно об угле поворота

     О движении тела по орбите

     Систематизация величин         силовых полей

     Систематизация величин         колебаний и волн

     Новая единица         температуры

     Обобщение явлений         переноса

     Критерии подобия всюду

     Альтернативные взгляды         на проблемы метрологии


Системный подход в экономике

История проблемы
систематизации величин


Учить физику по-новому!

Учебно-наглядные пособия


Каталог ссылок

Обновления на сайте

Шутки на тему сайта


Oб авторе проекта

Коган И.Ш.

Размерности и единицы “безразмерных величин”

СОДЕРЖАНИЕ.
1. Термины “размерная величина” и “безразмерная величина” неверны.
2. Вариант замены 1 в качестве размерности для критериев подобия.
3. Три примера внесистемных единиц для критериев подобия.
4. В чем особенности внесистемных единиц в приведенных примерах.
5. Как решить проблему единицы постоянной Авогадро.
6. Как назвать единицу “величины с размерностью 1“?


ПРИМЕЧАНИЕ: Для получения краткой справки по поводу недостаточно ясных, редко применяемых или введенных автором сайта терминов пройдитесь по ссылке Предметный указатель (от А до О и от П до Я), а по поводу примененных обозначений – по ссылке Символьный указатель (латинские буквы и греческие буквы).

1. Термины “размерная величина” и “безразмерная величина” неверны.

В статье, посвященной "безразмерным величинам", показано, что термин "безразмерная величина" неверен, так как любая физическая величина не может не иметь размера, ибо в этом случае она перестает быть физической величиной, а становится просто числом. Поэтому безразмерных величин не существует. По этой же причине в термине "размерная величина" слово "размерная" излишне, наличие размера подразумевается, как необходимость, в определении термина "величина".

Термин "безразмерная величина" является неграмотным переводом с английского языка термина безразмерностная величина (dimensionless quantity), то есть величина без размерности. Но и этот термин тоже неверен, так как физическая величина не может не иметь размерности. Для таких физических величин, как критерии подобия, в Международном словаре по метрологии JCGM 200:2012 рекомендовано применять термин "величина с размерностью 1". А по поводу термина "безразмерностная величина" в словаре сказано, что он пока сохраняется по историческим причинам. Так что термин "безразмерная величина" будет применяться заключенным в кавычки.

В JCGM 200:2012 указывается, что числовое значение величины Q обозначается как {Q}, а единица величины Q обозначается как [Q], Таким образом, можно записать равенство

Q = {Q} [Q] . ( 1 )

Если единица измерения [Q] принадлежит к принятой международной системе единиц, то ее называют системной единицей, в противном случае - внесистемной единицей. Отсутствие у величины какой-либо единицы вообще означает, что она является не физической, а математической или порядковой величиной.

Следует отличать порядковые величины от считаемых величин, количество которых должно являться основной физической величиной. В статье о считаемых величинах и в статье о числе структурных элементов указано, какие именно величины должны к ним относиться. Что касается углов, которые ошибочно считаются безразмерными величинами, то они подробно рассмотрены в разделе об угловых величинах.

Единица [Q] иногда называется в литературе "базисом величины", в словаре JCGM 200:2012 для него имеется термин "reference", который в русском переводе JCGM 200:2012 назван "основой для сравнения" (от греч. basis - основание). Если базис величины (единица) отсутствует, то не существовует и сама величина. Если для числового значения {Q} записать вытекающее из ууравнения (1) равнество

{Q} = Q / [Q] , ( 2 )

то становится ясно, что числовое значение {Q} имеет размерность 1, так как величина Q и ее единица [Q] имеют одинаковые размерности. А размерность 1 является такой же легитимной, как и другие размерности. Важно отметить, что единица [Q] может быть как системной, так и внесистемной единицей. Обзор ситуации в метрологии по поводу единиц для "безразмерных" (безразмерностных) единиц приведен в работах И.Когана (2014, 2015).

2. Вариант замены 1 в качестве размерности для критериев подобия.

Критерии подобия имеют ту же физическую природу, что и физические величины, от которых они образованы. В статье, посвященной "безразмерным величинам", показано, что приписываемая критериям подобия “безразмерность“ проявляется лишь в том, что при анализе размерностей определяющих уравнений физических величин, в которые входят эти критерии подобия, наличие критериев подобия не влияет на результат анализа размерностей, поскольку размерность критериев подобия равна 1. Но на физическое содержание величины, устанавливаемой этой закономерностью, критерии подобия влияют существенно.

В статье И.Когана (1998) выполнена буквально рекомендация, взятая из метрологического справочника А.Чертова (1990): “Чтобы найти размерность производной физической величины в некоторой системе величин, надо в правую часть определяющего уравнения этой величины вместо обозначений величин подставить их размерности“. В результате размерность каждого критерия подобия записывается, как размерность знаменателя (или числителя) критерия подобия в нулевой степени. Например, размерность относительной линейной деформации можно записать как L0, а ее единицу как м0, размерность числа Маха (отношения скоростей) можно записать как (LТ−1)0, а его единица как (м с-1)0.

При этом различие между физическим содержанием разных критериев подобия сразу становится заметным. В прим. 2 п. 1.8 JCGM 200:2012 сказано так: "Единицы измерения и значения величин с размерностью 1 есть числа, но они выражают больше информации, чем просто число". А происходит это вследствие того, что единицы и значения величин с размерностью 1 числами не являются (текст данного примечания неверен), они являются тоже величинами с размерностью 1. Как показано абзацем выше, информацию о них легко выяснить, применяя предложенную И.Коганом (1998) запись размерности, и это оказывается эффективным при преподавании гидравлики и теплотехники, в которых применяется множество критериев подобия.

При записи размерностей критериев подобия важно учитывать физическое содержание физических величин, образующих критерии подобия. Например, при записи размерности критерия Рейнольдса следует указывать не размерность динамической вязкости η (исходя из формулы Re = udρ/η), а размерность силы, так как критерий Рейнольдса является не отношением вязкостей, а отношением сил инерции к силам вязкого трения. Размерность критерия Рейнольдса в СИ можно записать, как (LMT−2)0, а единицу как Н0 (Ньютон)0.

3. Три примера внесистемных единиц для критериев подобия.

1. Пусть скорость тела, движущегося в воздухе при 0ºC и давлении 1 ат, равна v = 662 м/с. Эта запись соответствует равенству (1), если ее записать как

v = М vs , ( 3 )

где vs – скорость звука в воздухе; М – число Маха (критерий подобия), равное в данном примере двум скоростям звука. Скорость звука vs можно принять условно за внесистемную единицу в данной области техники. Коль скоро число Маха характеризует скорость летательного аппарата, то внесистемная единица числа Маха имеет размерность скорости. Не зря ведь в авиации, говоря о сверхзвуковых скоростях, говорят, что скорость летательного аппарата соответствует, например, двум числам Маха, хотя точнее было бы сказать: числу Маха, равному двум скоростям звука.

2. В молекулярной физике для определения числа элементов N однородной системы применяют уравнение:

N = n NA , ( 4 )

где NA – постоянная Авогадро с единицей моль-1. Величину n в СИ называют количеством вещества, ему присвоена размерность N и единица моль. Однако числовое значение постоянной Авогадро, называемое числом Авогадро АN, само является числом структурных элементов однородной системы. И размерность N должна относиться не к количеству вещества n, а к числу элементов N и к числу Авогадро АN . Именно единица числа Авогадро должна быть внесистемной единицей в молекулярной физике и иметь размерность N. А количество вещества n является в СИ “размерной величиной” с единицей моль. На этот недостаток СИ указывает Г.Прайс (2010). О том, что название “количество вещества“ для множителя n выбрано неудачно, говорилось в статье Б.Горнштейна (1972).

3. В атомной физике большое распространение имеет собственный момент импульса (спин) частицы L, определяемый по уравнению

L = J ħ , ( 5 )

где J – спиновое число, ħ – редуцированная постоянная Планка (ħ = h/2π, где h – постоянная Планка). Спиновое число J является критерием подобия, хотя физики называют его просто спином. Но это неправильно, так как нельзя называть одним и тем же термином "спин" размерную величину L (собственный момент импульса частицы) и “безразмерную величину” J.

4. В чем особенности внесистемных единиц в приведенных примерах.

В уравнении (3) внесистемная единица скорости звука [vs ] равна 331 м с-1, тогда как системная единица скорости равна 1 м с-1. Редуцированная постоянная Планка ħ из уравнения (5) имеет в СИ единицу Дж с. Но, как показано в статье о числе структурных элементов, ħ должна иметь единицу Дж с об-1 квант-1, в которой единица об (оборот) принадлежит полному углу поворота радиус-вектора на векторной диаграмме, а единица квант принадлежит количеству излучаемых фотонов. Там же указано на то, что физическое содержание имеет не редуцированная постоянная Планка ħ, а постоянная Планка h с единицей Дж с квант-2.

Внесистемные единицы критериев подобия могут быть дробными числами. Например, вполне допустимо говорить: три четверти скорости звука [vs ]. Внесистемные единицы могут иметь как фиксированные, так и переменные значения. Например, постоянная Авогадро NA и постоянная Планка h являются фундаментальными физическими константами с фиксированными значениями их внесистемных единиц. Это еще раз подчеркивает тот факт, что внесистемные единицы являются физическими величинами.

Согласно терминологии, предложенной А.Гухманом (1968), критерии подобия с базисом, являющимся физической константой, следует называть константами подобия. В отличие от них значение скорости звука vs в уравнении (3) зависит от физических характеристик атмосферы в том месте, в котором находится летательный аппарат. Подобные “безразмерные величины“ А.Гухман (1968) рекомендует называть параметрическими критериями подобия. Все остальные критерии подобия имеют в качестве базиса переменные физические величины. Например, у числа Рейнольдса базисом является сила трения жидкости о стенку, которая зависит от многих факторов.

5. Как решить проблему единицы постоянной Авогадро.

В уравнении (4) внесистемная единица (постоянная Авогадро [NA ]) совершенно не соответствует принятой в СИ единице моль-1. Так что вполне справедливо недоумение Дайнеко и др. (1997) по поводу того, что ”постоянная Авогадро имеет абсурдную единицу измерений моль-1 (чего «на моль»?)”. Действительно, число структурных элементов N в уравнении (4) должно иметь размерность 1 и единицу, к примеру, штука. И тогда в уравнении (4) при единице NA, равной моль-1, единица количества вещества n согласно правилу размерностей должна быть равна штук моль-1, а вовсе не моль.

Согласно определению из JCGM 200:2012 (п.1.4) основная величина ‒ "одна из величин подмножества, условно выбранного для данной системы величин так, что никакая из величин подмножества не может выражаться через другие величины". А, судя по уравнению (4), количество вещества n выражается через количества объектов N и постоянную Авогадро NA . Получается, что назначение количества вещества n основной величиной в СИ противоречит определению основной величины. Причина такого алогизма кроется в том, что основная величина в СИ может быть "условно выбрана". В данном случае те, кто выбирал, ошиблись. Введение количества считаемых величин в качестве основной величины в систему величин ISQ может устранить существующий алогизм.

С единицей постоянной Авогдро (моль-1) не согласны многие химики и метрологи. Это хорошо выражено в статье И.Йоханссона (2010): "Я не могу понять, что это за величина, существующая в природе, с единицей 1-на-моль (1/моль) и с чем она согласуется. Традиционно, единицы измерения типа х-во-что-то (х-в-секунду, х-в-метре, х-в-моле и др.) представлены единицами измерения реальных типов-величин, и я думаю, что это требование должно соблюдаться. То есть, на мой взгляд, килограмм-на-моль имеет смысл, но 1-на-моль не имеет." Обзор многочисленных критических замечаний по поводу единицы моль приведен в статье М.Фостера (2010, проблема 6).

Эта же проблема может быть решена кардинально по-иному, путем преобразования уравнения (4) в уравнение связи

nA = N /АN , ( 6 )

где число Авогадро АN иметь, например, единицу штука, как и число структурных элементов N. В этом случае количество вещества i>nA будет являться критерием подобия, числовое значение которого будет равно 1 при N = АN . И тогда единица моль станет единицей критерия подобия. Устроит ли такое решение химиков, им решать. Но метрологи точно вздохнут с облегчением. А пока что вся дискуссия сводится к обсуждению единицы моль, как будто нет другого варианта уравнения для количества вещества.

6. Как назвать единицу “величины с размерностью 1“?

И.Миллс (1995) считал, что слово one (один) может рассматриваться как единица СИ для “количеств однородных элементов“, отдавая себе отчет в том, что это приведет к ревизии СИ. Такая ревизия сейчас и проводится. Сложность ситуации в русском языке заключается в том, что единица под названием “один“ звучит как тавтология. В английском языке этого нет: единица измерений − это unit, а числовая единица − это one.

Для единицы критериев подобия И.Миллсом (1995) предложен символ I и название heis. На классическом греческом языке εισ означает единицу. Несколько позже Т.Квинн и И.Миллс (1998) предложили дать этой единице другое название uno и другой символ U, а также использовать подобную единицу с приставками для замены десятичной доли, процента и промилле. Поскольку для проверки критериальных уравнений анализ размерностей не применяется, то нет необходимости заменять размерность 1 буквенным символом.

И.Миллс (1995) указал на то, что “one“ для “количеств однородных элементов“ является целым числом в квантовой механике, а в других разделах физики – нецелым числом. Но причина такого несоответствия в том, что единица one приемлема только для критериев подобия, а не для количеств считаемых величин (однородных элементов), которые должны иметь другую единицу. Применение количества считаемых величин, как основной величины, приводит к качественно новым результатам при анализе размерностей. В частности, в разделе, посвященном метрологии периодических процессов, приведены примеры уточнения с помощью размерности количества считаемых величин уравнений закона фотоэффекта Эйнштейна и закона излучения Планка.

К количеству считаемых величин (числу структурных элементов, количеству объектов, количеству событий) нельзя применять ту же единицу, что и для критериев подобия. В статье П.Мора и В.Филлипса (2015) приводится большое количество вариантов названий для единиц считаемых величин, отражающих число конкретных структурных элементов (число молекул, атомов, электронов, фотонов и пр.).

В экономике широкое применение имеет единица штука, где ею измеряют количество штучных товаров. Слово ”штука” происходит из немецкого языка. В русском языке оно имеет значение ”отдельного предмета из числа однородных, считаемых предметов” (Словарь Грамота-ру). Примерно такое же лексическое значение оно имеет в основных европейских языках. Так что лексическое значение этого слова полностью адекватно его физическому содержанию.

Что касается углов поворота, которые в СИ имеют единицу радиан, но считаются при этом “безразмерными величинами“, поскольку их размерность в СИ равна 1, то здесь вопрос должен быть решен совершенно иначе, как описано в разделе об угловых величинах. Называть радиан единицей угла поворота с точки зрения метрологии нельзя, ибо измерительный эталон существует не для радиана, а для углового градуса (для доли полного угла поворота, то есть для доли одного оборота). В статье, посвященной углу поворота, показано, что именно оборот является основной единицей для угла поворота. Впрочем, группа угловых величин должна быть изъята из категории “величин с размерностью 1“.

Литература

1. Гухман А.А., 1968, Введение в теорию подобия. – М:, Высшая школа. 355 с.
2. Дайнеко В.И. и др., 1997, Памятка для решения расчетных задач по химии (школьникам, учителям, абитуриентам) - М.: Интеллект, 49 с.
3. Коган И.Ш., 1998, К вопросу о размерности и единицах измерений безразмерных физических величин. – Законодательная и прикладная метрология, 4, с.с. 55-57.
4. Kogan J., September 2014. An Alternative Path to a New SI (Part 1. On Quantities With Dimension One). – MetrologyBytes.net. p. 20
5. Коган И.Ш., 2015, Альтернативный путь к Новой СИ (Часть 1. О величинах с размерностью единица). – Законодательная и прикладная метрология, 1, с.с. 29-42
6. Чертов А.Г., 1990, Физические величины. – М.: Высшая школа, 336 с.
7. JCGM 200:2012 International vocabulary of metrology – Basic and general concepts and associated terms (VIM). 3rd ed. 2008 version with minor corrections. URL: http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_200_2012.pdf,
8. Русский перевод JCGM 200:2008: Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и соответствующие термины. - Всерос. науч.-исслед. ин-т метрологии им. Д. И. Менделеева, Белорус. гос. ин-т метрологии. Изд. 2-е, испр. — СПб.: НПО «Профессионал», 2010. — 82 с. URL: http://mathscinet.ru/slaev/records/images/SlaevChun02.pdf
9. Foster M.P., 2010. The next 50 years of the SI: a review of the opportunities for the e-Science age. Review Article. Metrologia, 47, R41–R51
10. Gornshtein B., 1972, The mole — a unit for the quantity of matter. Meas. Tech., 15, р.р. 711–716
11. Johansson I., 2014. Constancy and Circularity in the SI. Metrology Bytes, 25 p.
12. Mills I.M., 1995, Unity as a Unit. – Metrologia, 31, p. 537
13. Mohr P.J., Phillips W.D., 2015, Dimensionless units in the SI. – Metrologia, v. 52, p.p. 40-47.
14. Price G., 2010, Failures of the global measurement system: I. The case of chemistry. Accreditation Qual. Assur., 15 р.р. 421–427
15. Quinn T.J., Mills I.M., 1998, The use and abuse of the terms percent, parts per million and parts in 10n. – Metrologia, 35, p.р. 807–810.



© И. Коган Дата первой публикации 1.06.2006
Дата последнего обновления 18.12.2015

Оглавление раздела Предыдущая Следующая