Контакты jokoil@mail.ru КАРТА САЙТА English

Энергодинамическая система физических величин и понятий

(ЭСВП)


Не смешивать с СИ, унифицирующей ЕДИНИЦЫ измерений (разъяснение).

На Главную

Кому и зачем это нужно?

СТУДЕНТАМ на ЗАМЕТКУ

Разъяснение основных терминов

Формы и виды энергии

Условия успешной систематизации

Классификация физических систем

Основная идея системы

Таблицы физических величин

В чем новизна сайта?

     Формы и виды движения

     Подробно об угле поворота

     О движении тела по орбите

     Систематизация величин         силовых полей

     Систематизация величин         колебаний и волн

     Новая единица         температуры

     Обобщение явлений         переноса

     Критерии подобия всюду

     Альтернативные взгляды         на проблемы метрологии


Системный подход в экономике

История проблемы
систематизации величин


Учить физику по-новому!

Учебно-наглядные пособия


Каталог ссылок

Обновления на сайте

Шутки на тему сайта


Oб авторе проекта

Коган И.Ш.

Уравнения колебаний и волн

АННОТАЦИЯ. Приводится процесс вывода уравнения колебаний системы, в котором все величины имеют ясное физическое содержание. Показано, что применяемая в физике запись уравнения колебания с применением коэффициента затухания и угловой частоты продиктована удобством применения математических методов за счет пренебрежения физическим содержанием, что требует соответствующих пояснений при преподавании.

ПРИМЕЧАНИЕ: Для получения краткой справки по поводу недостаточно ясных, редко применяемых или введенных автором сайта терминов пройдитесь по ссылке Предметный указатель (от А до О и от П до Я), а по поводу примененных обозначений – по ссылке Символьный указатель (латинские буквы и греческие буквы).

Как выводится уравнение колебаний системы?

Колебания системы возникают при выведении системы из положения устойчивого равновесия, при котором система находится в так называемой потенциальной яме, иллюстрируемой на рисунке графиком изменения потенциальной энергии системы Wp в зависимости от изменения координаты состояния q любой формы движения.

Если зависимость Wp (q) имеет характер, показанный на рисунке, то изображенная область этой зависимости носит название потенциальной ямы, а зависимость в точке О с координатами (Wp )0 и q0 имеет минимум.

Разлагая функцию Wp (q) в ряд в точке О и ограничиваясь тремя первыми членами разложения, получим уравнение

Wp (q) = (Wp )0 + (dWp /dq)0 q + (d2Wp /dq2)0 q2/2 . ( 1 )

Перенеся в левую часть (Wp )0 , приняв, что Wp (q) − (Wp )0 = dWp и учтя, что в точке О функция Wp (q) имеет минимум и, следовательно, (dWp /dq)0 = 0, а также обозначив (d2Wp /dq2)0 символом D, придем к уравнению

dWp = D q2/2 . (2)

В статье, посвященной приращениям энергии, показано, что коэффициент D является жесткостью системы в рассматриваемой форме движения.

Если перейти к изменению энергообмена dW, то в статье, посвященной уравнению состояния, показано, что величина ΔР = dW/dq называется разностью потенциалов между системой и окружающей средой. А в статье, посвященной уравнению переходного процесса, приведено обобщенное уравнение динамики системы с применением параметров системы:

D Δq + R (dq/dt) + I (d2q/dt2) = − ΔР , ( 3 )

где Rсопротивление системы, Iинертность системы, а t – время.

Уравнение динамики (3) является уравнением, описывающим поведение системы после ее выведения из состояния устойчивого равновесия. В зависимости от соотношения значений параметров системы D, R и I система может возвратиться в состояние устойчивого равновесия плавно или после колебаний относительно равновесного состояния. Таким образом, уравнение динамики (3) можно считать также и уравнением колебаний системы.

Классификация колебаний системы

Если после выведения системы из положения устойчивого равновесия разность потенциалов ΔР становится равной 0, то уравнение (3) будет описывать свободные колебания системы относительно положения равновесия.

Если разность потенциалов ΔР является функцией типа ΔР = ΔРmax cos 2πft, где f − частота колебаний разности потенциалов, то уравнение (3) будет описывать вынужденные колебания.

Если сопротивление R = 0, то уравнение (3) будет описывать незатухающие колебания, если R > 0, − то затухающие колебания.

Если частота колебаний разности потенциалов f совпадет с собственной частотой колебаний системы f0 , то наступает резонанс колебаний.

Применение уравнения колебаний скрывает физическое содержание колебаний

В современной физике уравнение колебаний принято записывать в виде

d2q/dt2 + 2β (dq/dt) + ω02 q = f(t) , ( 4 )

где 2β = R/I, ω02 = D/I, а f(t) = ΔU/I. Величину β называют коэффициентом затухания, а величину ω0угловой (круговой, циклической) частотой колеблющейся системы. Причина разных названий для одной и той же величины ω0 поясняется в статье, посвященной единице частоты колебаний. Уравнение (4) имеет обобщенный характер записи и приемлемо для любой формы движения.

Проанализируем различие между уравнениями (3) и (4). То, что последовательность расположения слагаемых в левой части уравнений противоположна с точки зрения расположения производных разного порядка, не существенно, хотя, с точки зрения физики, запись уравнения (3) более логична. Гораздо существеннее то, что обе части уравнения (4) поделены на инертность I, как показано в начале предыдущего абзаца. В результате этого вторая производная по времени оказалась с коэффициентом пропорциональности, равным 1. Да и третье слагаемое в уравнении динамики (3) со второй производной по времени есть не что иное, как запись второго закона Ньютона. А в уравнении (4) это слагаемое оказалось первым и без коэффициента, то есть без указания на инертность колеблющейся системы.

Для механической прямолинейной формы движения уравнение (4) записывают в виде

d2х/dt2 + 2β (dх/dt) + ω02 х = f(t) , ( 5 )

применяя для обозначения координаты состояния символ x. Тогда коэффициенты записываются так: 2β = r/m, ω02 = k/m, где k – жесткость, r – сопротивление, а m – масса. Решение уравнения (5) включает в себя тригонометрическую функцию и имеет вид:

x = A cos(ω0 t + φ0 ) , ( 6 )

где A – длина радиус-вектора, пропорциональная реальной амплитуде колебаний;
ω0 t – число полных углов поворота радиус-вектора, равное реальному числу периодов колебаний;
φ0 – начальный угол поворота радиус-вектора, равный начальной фазе колебаний.

Применение уравнения колебаний при описании волнового движения

Уравнение (6) называется в физике уравнением гармонических колебаний. Похожий вид имеет решение уравнения колебаний (5) при волновом движении, но при этом дополнительно учитывается смещение центра координат векторной диаграммы в направлении движения волны с фазовой скоростью v. Суммарное смещение проекции конца радиус-вектора обозначается символом ξ и определяется уравнением

ξ = A cos(ω0 t – kx + α) , ( 7 )

где k = ω0 / vволновое число; α – начальная фаза колебаний. Уравнение (7) отличается от уравнения (6) лишь формой представления начальной фазы колебаний. Вместо φ0 присутствует (– kx + α). Если волна распространяется в произвольном направлении (в частности, если это сферическая волна), то уравнение (7) имеет вид:

ξ = (A/r) cos(ω0 tkr + α) , ( 8 )

где k – волновой вектор; r – радиус-вектор точки на поверхности фронта волны, проведенный из точечного источника колебаний.

При r → 0 значение амплитуды (A/r) устремляется к бесконечности, что служит обычно основанием для того, чтобы говорить о неприменимости уравнения (8) при r → 0. Но на самом деле это говорит об абстрактности предположения о существовании точечного источника. Современные теории строения вещества и поля, развитые в работах В.Пакулина (2010), О.Репченко (2008), В.Ацюковского (2003), указывают на то, что источники сферических волн имеют хоть и малые, но конечные размеры, и что амплитуды в непосредственной близости от этих источников имеют очень большие, но не бесконечно большие значения, быстро уменьшающиеся по мере роста модуля волнового вектора r.

Следует иметь в виду, что уравнения (6-8) приобретают физическое содержание только после того, как приобретают физическое содержание величины х, ξ и A. Они могут отражать любую физическую величину, а не только длину.

Размерности величин в уравнении колебаний

Проведем анализ размерностей уравнений (3) и (4), пользуясь размерностями в системе величин ЭСВП. В статьях, посвященных основным величинам и условным основным величинам, приведены символы размерностей энергии (dim W = E), обобщенной координаты состояния (dim q = K) и времени (dim t = T).

Разность потенциалов и параметры формы движения в уравнении (3) имеют такие размерности:
dim ΔР = EK−1, dim D = EK−2, dim R = EK−2T, dim I = EK−2T−2.

В уравнении (4) в результате деления на инертность I разность потенциалов и коэффициенты при слагаемых левой части имеют совершенно другие размерности: dim f(t) = КТ−2, dim β = Т−1, dim ω02 = Т−2. Как видим, и коэффициент затухания β, и частота ω0 оказались с одной и той же размерностью (Т−1), что противоречит условию показателей степени, согласно которому основная величина не может иметь размерность в отрицательной степени при отсутствии размерностей других основных величин. Причины возникновения подобной некорректности детально проанализированы в статье, посвященной термину "угловая частота".

С точки зрения физики величина ω0 никакой частотой колебаний не является. Она применяется в математическом методе векторных диаграмм, в котором обозначает абстрактную величину − угловую скорость вращения радиус-вектора на плоскости ортогональной системы координат. Просто запись уравнения колебаний в виде уравнения (4) очень удобна для применения теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и теории функций комплексного переменного. Опять математика затушевывает физику.

При преподавании раздела «Колебания и волны» следует обязательно разъяснять причины замены уравнения колебаний (3) уравнением (4) и причины введения абстрактных математических величин, не имеющих физическое содержание и корректные размерности.

Литература

1. Ацюковский В.А., 2003, Общая эфиродинамика. Моделирование структур вещества и полей на основе представлений о газоподобном эфире. 2-ое изд. – М.: Энергоатомиздат, 584 с.
2. Пакулин В.Н., 2010, Структура материи (Вихревая модель микромира). – СПб, НТФ "Истра".
3. Репченко О.Н., 2008, Полевая физика или Как устроен мир? Изд. 2-е – М.: Галерия, 320 с.

© И. Коган Дата первой публикации 27.10.2010
Дата последнего обновления 13.11.2010

Оглавление раздела Предыдущая Следующая