Контакты jokoil@mail.ru КАРТА САЙТА English

Энергодинамическая система физических величин и понятий

(ЭСВП)


Не смешивать с СИ, унифицирующей ЕДИНИЦЫ измерений (разъяснение).

На Главную

Кому и зачем это нужно?

СТУДЕНТАМ на ЗАМЕТКУ

Разъяснение основных терминов

Формы и виды энергии

Условия успешной систематизации

Классификация физических систем

Основная идея системы

Таблицы физических величин

В чем новизна сайта?

     Формы и виды движения

     Подробно об угле поворота

     О движении тела по орбите

     Систематизация величин         силовых полей

     Систематизация величин         колебаний и волн

     Новая единица         температуры

     Обобщение явлений         переноса

     Критерии подобия всюду

     Альтернативные взгляды         на проблемы метрологии


Системный подход в экономике

История проблемы
систематизации величин


Учить физику по-новому!

Учебно-наглядные пособия


Каталог ссылок

Обновления на сайте

Шутки на тему сайта


Oб авторе проекта

Коган И.Ш.

Термин ”угловая частота” некорректен

СОДЕРЖАНИЕ.
1. Определения и обозначения угловой частоты.
2. Для какой цели введен термин ”угловая частота”?
3. Термин "угловая частота" - следствие замены физики математикой.
4. Бессистемность порождает неопределенность.


ПРИМЕЧАНИЕ: Для получения краткой справки по поводу недостаточно ясных, редко применяемых или введенных автором сайта терминов пройдитесь по ссылке Предметный указатель (от А до О и от П до Я), а по поводу примененных обозначений – по ссылке Символьный указатель (латинские буквы и греческие буквы).

1. Определения и обозначения угловой частоты.

Приведем уравнение гармонических колебаний, приведенное в статье, посвященной частоте колебаний, и применяемое при математической интерпретации колебательного процесса методом векторных диаграмм:

x = Acos(ω0 t + φ0 ). ( 1 )

Величины, входящие в уравнение (1), необходимо обязательно снабжать нижними индексами ”0”, чтобы отличать их от других величин, применяемых в механике и обозначаемых теми же символами. В механике ω и φ - это реальные физические величины, применяемые во вращательной форме движения, а в уравнении (1) ω0 и φ0 применяются при математической интерпретации гармонических колебаний путем вращения радиус-вектора на координатной плоскости (на векторной диаграмме) с угловой скоростью ω0 . Причем интерпретируемые колебания не обязательно должны быть связаны с вращением тела.

Анализ единиц аргумента тригонометрической функции в уравнении (1) показывает, что если угол поворота радиус-вектора φ0 измеряется в радианах, то угловая скорость радиус-вектора ω0 , называемая угловой частотой, должна измеряться в рад с−1. Если же для угловой частоты применять единицу с−1, то это приводит к несоблюдению правила размерностей в аргументе тригонометрической функции.

Проанализируем имеющиеся определения угловой частоты. Согласно БСЭ – это ”число полных колебаний, совершающихся при периодическом колебательном процессе за 2π единиц времени”. Это определение относится к непрерывному периодическому процессу, охарактеризованному в статье, посвященной частоте колебаний. Но при этом не учитывается начальная фаза колебаний. В метрологическом справочнике А.Чертова (1990) определение угловой частоты иное, чем в БСЭ, – это ”производная по времени от фазы гармонических колебаний, равная частоте колебаний f, умноженной на 2π”. Это определение иллюстрируется уравнением (1), причем между угловой частотой ω0 вращения радиус-вектора и собственной частотой колебаний f0 реального осциллятора устанавливается взаимосвязь в виде уравнения

ω0 = 2πf0 . ( 2 )

Как видим, приведенные два определения угловой частоты не совпадают друг с другом. Само уравнение (2) верно в СИ лишь в том случае, если частота колебаний f0 имеет единицу с−1, а число π имеет единицу радиан, хоть оно и считается безразмерным в СИ. Только при этих условиях правило размерностей в уравнении (2) соблюдается.

А теперь возьмем за основу определение из БСЭ и будем считать (как это принято в системе величин ЭСВП), что число периодов колебаний является частным случаем числа структурных элементов (количества считаемых величин), которое согласно Международному метрологическому словарю JCGM 200:2012, может быть признано основной величиной, имеет в системе величин ЭСВП свою размерность С и единицу период. Тогда частота колебаний f0 должна иметь размерность СT−1 и единицу пер с−1, а число π в этом случае для соблюдения правила размерностей должно иметь размерность АС−1 и единицу об пер−1 (это соответствует в СИ единице рад пер−1). О подобных размерности и единице говорится в статье, посвященной фундаментальной константе 2π.

2. Для какой цели введен термин ”угловая частота”?

Вопрос 1. Нормально ли, что одним и тем же символом ω обозначаются в физике угловая частота колебаний, угловая скорость вращающегося тела, частота колебаний электромагнитного излучения и частота переменного тока, а нижний индекс ”0” то применяется, то нет?

Конечно, нет запрета к применению одинаковых символов для разных физических величин. Но в данном случае речь идет о слишком часто применяющихся физических величинах, причем это происходит в одних и тех же учебниках, иногда даже через несколько страниц одно от другого. В подобных случаях символика у разных величин должна быть разной, чтобы не запутать читателя. Хотя бы индексами должна какими-нибудь отличаться.

В учебнике по физике И.Савельева (2005, кн.1) для угловой частоты колебаний применяется символ ω0 , а для частоты колебаний символ f0 . Но в том же самом учебнике нижний индекс ”0” постепенно и незаметно теряется. Та же история наблюдается и во многих других учебниках и справочниках. И не всегда при этом понятно, что же, собственно, обозначается символом ω. Для учебника такой процесс потери индекса недопустим даже больше, чем для справочника.

В некоторых книгах для обозначения собственной частоты колебаний применяют другую букву. Например, в теории автоматического регулирования собственную частоту колебаний обозначают иногда символом p. Это, возможно, лучше, чем добавлять индекс ”0” к ω.

При переходе к изучению волнового движения, электромагнитного излучения и атомной физики из термина ”угловая частота колебаний” незаметно исчезает слово ”угловая”, остается просто ”частота колебаний” (или ”частота излучения”). И приходится задумываться, о какой же частоте идет речь: об абстрактной угловой скорости радиус-вектора ω0 или о реальной собственной частоте осциллятора f0 . Особенно трудно определиться, когда в тексте говорится о частоте колебаний, но отсутствует символ, обозначающий эту частоту.

Вопрос 2. Зачем понадобилось вообще добавлять к термину ”частота колебаний” слово ”угловая”? Ведь ни в одном из двух приведенных выше определений угловой частоты нет ни слова о вращении тела и о связанной с этим угловой скорости тела.

При чтении первоисточников складывается впечатление, что совпадение символов угловой скорости и угловой частоты колебаний не случайно. Автору случалось встретить и такое определение угловой частоты: ”Угловая частота – это модуль векторной величины угловая скорость”. Или даже такое: ”Термин вектор угловой частоты ω используется как синоним векторной величины угловая скорость”. Ясно, что авторы таких определений либо не понимают разницы между угловой скоростью радиус-вектора, как математической величины, применяемой в методе векторных диаграмм для исследования периодического процесса, и угловой скоростью тела, как физической величины, характеризующей реальный процесс однонаправленного вращения тела, либо не желают вникнуть в суть дела. Жаль, что подобное встречается не так уж редко.

3. Термин "угловая частота" - следствие замены физики математикой.

Частичный ответ на оба поставленных выше вопроса заключается в том, что гармонические колебания математически интерпретируются с помощью метода векторных диаграмм. В этом методе используется мысленное равномерное вращение на координатной плоскости радиус-вектора, значение которого соответствует значению амплитуды гармонических колебаний, а фаза гармонических колебаний интерпретируется, как угол поворота этого радиус-вектора. При такой интерпретации проекция конца радиус-вектора на координатную ось совершает линейное перемещение в соответствии с уравнением (1). При этом становится безразличным, какую физическую природу имеют интерпретируемый периодический процесс.Интерпретируется таким образом и квантуемый периодический процесс испускания частиц, при котором вообще нет никаких колебаний.

В методе векторных диаграмм вращающийся на координатной плоскости радиус-вектор не является физической величиной, и при переходе от процесса гармонических колебаний физической величины к математической интерпретации периодического процесса следует это учитывать и объяснять, а делается это далеко не всегда. В результате не учитывается, что колеблющаяся физическая величина может иметь любую размерность, в то время как длина радиус-вектора на плоскости является математической величиной, интерпретирующей амплитуду колебаний, но не заменяющей ее.

Возможно, имеется еще одна причина возникновения термина ”угловая частота колебаний”, уже чисто метрологическая. В СИ у частоты колебаний и у угловой частоты размерность одна и та же – T−1, а вот единицы почему-то разные: с-1 и рад с-1. Может быть, авторы стандартов решили различать в СИ эти две величины хотя бы разной записью единиц?

Итак, сформулируем кратко наши ответы на поставленные выше два вопроса.

Ответ на первый вопрос: положение, когда одним и тем же символом ω обозначаются несколько хоть и родственных, но разных по природе понятий, а ситуация с применением нижнего индекса ”0” не зафиксирована стандартом, ненормально. Задача метрологов и педагогов: навести в этом вопросе порядок.

Ответ на второй вопрос: термин ”угловая частота” при определении частоты колебаний указывает на применение метода векторных диаграмм при математической интерпретации процесса колебаний физической величины любой природы. Никакого отношения к реальной угловой скорости вращающегося тела этот термин не имеет.

Пока не заметно, чтобы кто-то был этим озабочен. В частности, практикуемая в электротехнике запись значений реактивных сопротивлений в цепях переменного тока в виде XC = 1/(ωC) и XL = ωL, где C – ёмкость, а L – индуктивность цепи, должна быть заменена, так как никакой угловой скорости ω в цепи переменного тока нет, там ничего не вращается. Правильной будет запись XС = 1/(2πfC) и XL = 2πfL, где f – частота переменного тока, измеряемая в Гц. Это необходимо сделать потому, что при изучении электрических машин действительно приходится иметь дело с угловой скоростью ω якоря (ротора) электрической машины, а она численно и по содержанию далека от угловой частоты переменного тока ω0 .

И еще. Собственная частота осциллятора иногда записывается в виде ω0 = (D/I)½ или в виде ω0 = (CI)−½, где D – жесткость, C – ёмкость, I – инертность осциллятора. Такая запись неверна, так как анализ размерностей показывает, что в этом случае размерность ω0 равна T−1, а единица равна с-1, что противоречит стандарту для угловой частоты ω0 в СИ, где единица угловой частоты ω0 равна рад с-1.

Можно, конечно, в соответствии с уравнением (2) поделить ω0 на выражение 2π, которое в СИ безразмерно, и получить собственную частоту осциллятора в виде f0 с размерностью T−1 и единицей с-1, но тогда получится, что у собственной частоты колебаний и угловой частоты колебаний одни и те же размерность и единица. Зачем же тогда было вводить разные термины?

В системе величин ЭСВП эта неопределенность снимается введением для числа структурных элементов при рассмотрении периодических процессов размерности С, как для количества считамеых величин. В соответствии с этим при применении метода векторных диаграмм число 2π получает размерность АС−1 и единицу об пер-1. Это в дальнейшем обеспечивает переход от метода векторных диаграмм к реальным периодическим процессам. А собственная частота колебаний получает размерность СТ−1 и единицу пер с-1, соответствующую единице Гц.

4. Бессистемность порождает неопределенность.

Остается невыясненным такой вопрос: как быть с аргументом тригонометрической функции в уравнении гармонических колебаний (1)? В справочнике по математике И.Бронштейна и К.Семендяева (1986) сказано: ”Область определения тригонометрических функций состоит из множества действительных чисел”. О том, должны ли эти числа отражать числовые значения безразмерных или размерных физических величин, в определении тригонометрических функций не сказано ничего. Но поскольку аргументом тригонометрических функций является угол, то при интерпретации этими функциями физических явлений их аргументом должен становиться угол поворота независимо от того, имеет ли он размерность и единицу измерений (как в системе величин ЭСВП) или имеет только единицу измерений (как в СИ).

Заметим попутно, что в таблицах тригонометрических функций (см., например, тот же справочник И.Бронштейна и К.Семендяева, 1986) аргументы тригонометрических функций представлены не в радианной, а в градусной мере. А в этом случае исчезает единица радиан и вместе с ней вся путаница с размерностями и единицами.

В некоторых работах (например, у И.Дружинского, 1977, П.Пирната, 2005) пытаются выйти из запутанного положения тем, что в качестве единицы измерений угловой частоты применяют единицу 1/с. Но из контекста подобных первоисточников не всегда бывает сразу понятно, что надо подразумевать под 1 (то ли оборот, то ли радиан).

В работе Брянского Л.Н., Дойникова А.С., Крупина Б.Н. (1999) для оправдания этой путаницы приведен веский аргумент такого рода: ”Все и так всё понимают”. Эта и предыдущая статья показывают, что, скорее всего, все всё зазубрили и привыкли к существующему положению дел. А вот когда начинаешь анализировать, то сложившаяся ситуация как раз и становится трудно понимаемой и просит о наведении какого-нибудь порядка.

В статье, посвященной понятийной бессистемности, говорится о том, какой вред может принести при преподавании физики применение математических абстракций, если на это при обучении не обращается внимание, а также чем чревата символьная бессистемность. В статьях данного раздела это проиллюстрировано наглядно.

Литература

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., 1986, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13 изд., М.: Наука, Физматгиз, 544 с.
2. Брянский Л.Н., Дойников А.С., Крупин Б.Н., 1999, О “размерностях” безразмерных единиц. – Законодательная и прикладная метрология, 4, с.с. 48-50.
3. Дружинский, И.А., 1977, Механические цепи. – М.: Изд-во Машиностроение.
4. Савельев И.В., 2005, Курс общей физики (в 5 книгах). – М.: АСТ: Астрель
5. Чертов А.Г., 1990,Физические величины. – М.: Высшая школа, 336 с.
6. Pirnat P., 2005, Physical Analogies. – http://www.ticalc.org/cgi-bin/zipview?89/basic/science/physanal.zip;physanal.txt
7. JCGM 200:2012. International vocabulary of metrology – Basic and general concepts and associated terms (VIM), 3rd edition.



© И. Коган Дата первой публикации 10.04.2008
Дата последнего обновления 21.12.2015

Оглавление раздела Предыдущая Следующая