Контакты jokoil@mail.ru КАРТА САЙТА English

Энергодинамическая система физических величин и понятий

(ЭСВП)


Не смешивать с СИ, унифицирующей ЕДИНИЦЫ измерений (разъяснение).

На Главную

Кому и зачем это нужно?

К сведению студентов

Основные понятия физики

Формы и виды энергии

Классификация физических систем

Основная идея системы величин

Таблицы физических величин

Итоги и выводы:

     Формы и виды движения

     Подробно об угле поворота

     О движении тела по орбите

     Заряды физического поля

     Новые единицы величин         колебаний и волн

     Новая единица         температуры

     Новый взгляд на         явления переноса

     Критерии подобия всюду

     Современная революция         в метрологии

Системный подход в экономике

История систематизации
величин и единиц


Необходимость модернизации
обучения физике


Учебно-наглядные пособия


Новости сайта

Шутки на тему сайта


Oб авторе проекта

Коган И.Ш.

Момент импульса тела и его отличие от углового момента тела

СОДЕРЖАНИЕ.
1. Угловой момент системы, состоящей из двух тел.
2. Как мы приходим к понятию "момент импульса" системы.
3. Закон сохранения момента импульса системы невращающихся тел.
4. Закон сохранения момента импульса системы вращающихся тел.
5. В чем состоит различие между моментом импульса и импульсом момента?


ПРИМЕЧАНИЕ: Для получения краткой справки по поводу недостаточно ясных, редко применяемых или введенных автором сайта терминов пройдитесь по ссылке Предметный указатель (от А до О и от П до Я), а по поводу примененных обозначений – по ссылке Символьный указатель (латинские буквы и греческие буквы).

1. Угловой момент системы, состоящей из двух тел.

Рассмотрим вариант, показанный на рисунке, когда система состоит из двух тел с массами m1 и m2 , причем m2 < m1 . Расстояние между центрами масс двух тел равно d. Центр вращения системы из двух тел Оcn лежит на прямой, соединяющей центры масс О и о.

Пусть оба тела вращаются вокруг собственных центров с угловыми скоростями ω1 и ω2 и одновременно с этим пусть рассматриваемая система из двух тел вращается с угловой скоростью ω вокруг общего центра системы Оcn , который находится на оси Оz, перпендикулярной плоскости рисунка. Соответственно, и псевдовекторы ω, ω1 и ω2 также перпендикулярны плоскости рисунка.

Момент инерции Jzi i-го тела при вращении вокруг собственной оси при этих условиях (собственную вращательную инертность) можно определить по теореме Штайнера (в литературе теорема Штейнера, но на немецком языке эта фамилия звучит как Штайнер)

Jzi = Jzsi + mi ri2 , ( 1 )

где Jzsi – собственный момент инерции i–го тела относительно своей оси вращения, параллельной оси Оz; mi – масса i–го тела; ri – расстояние от общей оси вращения до собственной оси вращения i–го тела.

Если векторы угловых скоростей ω1 и ω2 не параллельны друг другу и вектору угловой скорости всей системы ω, то каждый из векторов ω1 и ω2 следует разложить на два вектора: параллельный и перпендикулярный вектору ω. Теорема Штайнера учитывает только компоненты векторов ω1 и ω2 , параллельные вектору ω.

В статье, посвященной угловому моменту вращающейся системы, приведено определяющее уравнение для углового момента тела в виде Lz = Jzω. Подставив сюда выражение для момента инерции i–го тела Jzi из уравнения (1), мы приходим к определяющему уравнению углового момента системы, изображенной на рисунке:

Lz = [(Jzs)1 + m1 r12] ω + [(Jzs)2 + m2 r22] ω . ( 2 )

Естественно, что аналогичное уравнение может быть получено для системы, состоящей из скольких угодно составных частей.

2. Как мы приходим к понятию "момент импульса тела".

Предположим, что собственные моменты инерции тел (Jzs)i пренебрежимо малы по сравнению со вторыми слагаемыми в теореме Штайнера, то есть предположим, что собственными угловыми моментами тел, составляющих систему, можно пренебречь. Тогда угловой момент системы можно будет переписать в виде

Lz = m1 r12ω + m2 r22ω = const . ( 3 )

Угловая скорость системы из нескольких тел может быть определена по любой из составных частей системы по уравнению

ω = [eri (vτi /r )] , ( 4 )

где vτi − касательная скорость центра вращения i-го тела относительно общего центра вращения Оcn; eri − орт i-го радиуса, проведенный из точки Оcn . Уравнение (3) для углового момента системы в виде после введения в него угловой скорости согласно уравнению (4) запишется в виде:

Lz = m1 r1 [er vτ1 ] + m2 r2 [er vτ2 ] . ( 5 )

Введем скалярные величины m и r в квадратные скобки. Учитывая, что rer = r, и умножив скаляр m на вектор v, приходим к уравнению

Lz = [r1 (m1 vτ1 )] + [r2 (m2 vτ2 )] . ( 6 )

Векторную величину (mv), присутствующую в уравнении (6), называют в физике импульсом тела и обозначают символом p. А величину [r p] = [r (mv)] называют в физике моментом импульса тела. Ее также обозначают символом Lz , то есть тем же символом, который применяется для обозначения углового момента. Но при этом не учитывают, что к уравнению (6) мы пришли при пренебрежении собственными моментами инерции тел. Подобное умолчание является причиной того, что между угловым моментом и моментом импульса часто, но не обосновано, ставят знак равенства. Однако это разные величины, так как у них разные определяющие уравнения и разное физическое содержание.

Размерность момента импульса тела совпадает с размерностью углового момента, так как определяющее уравнение для момента импульса силы (6) вытекает из определяющего уравнения для углового момента (2). В СИ размерность момента импульса равна L2МT−1, а единица равна кг м2 с-1. Та же размерность в системе величин ЭСВП выглядит как EА−1T, но единица равна Дж об-1 с. Подробнее об этих размерностях и единицах рассказано в статье, посвященной угловому моменту.

3. Закон сохранения момента импульса системы невращающихся тел.

Каждое из слагаемых уравнения (6), записанное в виде Lzi = [ri (mivτi )] = [ri pi ] является моментом импульса i–го тела относительно общей оси вращения системы. А суммируя слагаемые уравнения (6), мы приходим к определяющему уравнению для момента импульса системы тел в виде

Lz = Σi [ri (mi vτi )] = Σi [ri рi ] . ( 7 )

Сравнение уравнений (2) и (7) показывает, что угловой момент тела и момент импульса вращающейся составной системы друг другу не равны. И уж, во всяком случае, синонимами не являются, как об этом говорится в метрологическом справочнике А.Чертова (1990). Но поскольку их принято обозначать одинаковым символом Lz , то это приводит часто к ложному выводу о том, что угловой момент и момент импульса тела являются синонимами. Поэтому, во-первых, обозначение момента импульса тела должно отличаться от обозначения углового момента дополнительным нижним индексом, например, L . И, во-вторых, в каждом случае применения обозначения Lz следует пояснять, что именно имеется в виду: угловой момент тела или момент импульса тела.

При отсутствии энергообмена движущейся по орбите системы с окружающей средой момент импульса системы тел L постоянен, что приводит к закону сохранения момента импульса

L = Σi [ri рi ] = const. ( 8 )

Физическое содержание закона сохранения момента импульса системы, состоящей из невращающихся тел, описываемого уравнением (7), заключается в следующем: если замкнутая система содержит несколько недеформируемых и не вращающихся вокруг своего центра тел разной массы, движущихся без внешнего сопротивления по орбитам разного радиуса вокруг общего центра с одинаковыми угловыми скоростями, то их суммарный момент импульса не изменяется при изменении масс, касательных скоростей и радиусов кривизны орбит движущихся внутри системы тел.

Любое вращающееся тело можно представить в виде интегральной суммы вращающихся участков тела. Тогда момент импульса вращающегося тела как целого также определяется по уравнению (7) и называется собственным моментом импульса вращающегося тела. В этом случае уравнение (7) можно назвать также законом сохранения собственного момента импульса вращающегося тела.

Этот закон показывает, что собственный момент импульса вращающейся системы может являться синонимом углового момента, только если речь идет о системе, которую можно рассматривать как сумму вращающихся подсистем. Если же систему необходимо рассматривать как единое целое, то следует говорить только об угловом моменте системы.

4. Закон сохранения момента импульса системы вращающихся тел.

Если необходимо учесть собственные моменты импульса вращающихся тел, входящих в замкнутую вращающуюся систему, то закон сохранения момента импульса уже не может быть описан уравнением (7). Следует вернуться к рассмотрению уравнения (2) и записать другое уравнение:

L = Σi (Jzi ωΙΙi + [ri рi ]) = const , ( 8 )

где под ωΙΙi подразумеваются параллельные ω компоненты векторов ωi . А перпендикулярные ω компоненты векторов ωi не вносят свой вклад в суммарный момент импульса вращающейся системы. Уравнение (8) описывает закон сохранения момента импульса замкнутой системы с учетом собственных моментов импульса вращающихся тел, составляющих систему.

Наконец, если в орбитальной форме движения в системе, движущейся по орбите с постоянной по модулю касательной скоростью, изменение энергообмена системы с окружающей средой dW равно нулю, то, можно говорить о том, что приращение модуля импульса касательной силы dSτ и приращение модуля касательного импульса тела dpτ равны нулю, и на этом основании говорить о законе сохранения орбитального момента движущейся по орбите вращающейся системы.

Говорить следует при этом именно о модулях dSτ и dpτ , потому что вектор касательной скорости vτ , являющийся сомножителем импульса тела, не меняется в данном случае только по модулю. В то же время каждое мгновение касательная скорость vτ , а вместе с ней импульс, меняются по направлению. Однако при этом векторное произведение [ri рi ] из уравнения (8) остается постоянным как по модулю, так и по направлению.

Закон сохранения момента импульса является следствием закона сохранения углового момента, который, в свою очередь, является следствием закона сохранения энергии системы. Поэтому неверно, когда закон сохранения момента импульса считают основным законом сохранения наравне с законом сохранения энергии. Следствие не может быть поставлено наравне с причиной, его вызывающей.

5. В чем состоит различие между моментом импульса тела и импульсом момента?

Момент импульса силы и импульс момента силы являются разными физическими величинами, так как у них разные определяющие уравнения. Импульс момента силы SM определяется уравнением

SM = ∫ Mdt . ( 9 )

А элементарный момент импульса силы определяется уравнением:

dLz = [R dS] , ( 10 )

то есть векторным произведением радиуса кривизны траектории R на элементарный импульс силы dS. В уравнении (10) отсутствуют массы, а элементарный импульс силы dS можно определить напрямую через работу сторонних сил.

Литература

1. Чертов А.Г., 1990, Физические величины. – М.: Высшая школа, 336 с.


© И. Коган Дата первой публикации 07.02.2009
Дата последнего обновления 28.04.2016


Оглавление раздела Предыдущая Следующая