Контакты jokoil@mail.ru КАРТА САЙТА English

Энергодинамическая система физических величин и понятий

(ЭСВП)


Не смешивать с СИ, унифицирующей ЕДИНИЦЫ измерений (разъяснение).

На Главную

Кому и зачем это нужно?

К сведению студентов

Основные понятия физики

Формы и виды энергии

Классификация физических систем

Основная идея системы величин

Таблицы физических величин

Итоги и выводы:

     Формы и виды движения

     Подробно об угле поворота

     О движении тела по орбите

     Заряды физического поля

     Новые единицы величин         колебаний и волн

     Новая единица         температуры

     Новый взгляд на         явления переноса

     Критерии подобия всюду

     Современная революция         в метрологии

Системный подход в экономике

История систематизации
величин и единиц


Необходимость модернизации
обучения физике


Учебно-наглядные пособия


Новости сайта

Шутки на тему сайта


Oб авторе проекта

Коган И.Ш.

Телесный угол, его размерность и единица

СОДЕРЖАНИЕ.
1. Имеющееся определение телесного угла и его недостаток.
2. Математическое содержание телесного угла.
3. Определяющее уравнение для телесного угла в физике.
4. Размерность и единица телесного угла.
5. Теория шкал не обязывает использовать единицу стерадиан.


ПРИМЕЧАНИЕ: Для получения краткой справки по поводу недостаточно ясных, редко применяемых или введенных автором сайта терминов пройдитесь по ссылке Предметный указатель (от А до О и от П до Я), а по поводу примененных обозначений – по ссылке Символьный указатель (латинские буквы и греческие буквы).

1. Имеющееся определение телесного угла и его недостаток.

Определение, взятое из БСЭ, гласит: “Телесный угол – часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью. Телесный угол измеряется отношением площади S той части сферы с центром в вершине конической поверхности, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса R сферы“. Соответственно, приведено уравнение, определяющее телесный угол Ω:

Ω = S / R2 . ( 1 )

Определение телесного угла из метрологического справочника А.Чертова (1990) отличается от вышеприведенного лишь тем, что слово “часть“ заменено словом “участок“. В соответствии с уравнением (1) телесный считается в современной физике безразмерной величиной.

Возникает тот же вопрос, который относился и к плоскому углу. Что оценивается уравнением (1): телесный угол, как часть пространства, ограниченная согласно определению некоторой конической поверхностью, или отношение площади части сферической поверхности радиусом R к квадрату этого радиуса? Согласно первому предложению из определения телесный угол – это объем части пространства, ограниченной конической поверхностью, и, следовательно, он бесконечен. А согласно второму предложению определения телесный угол – это конечное отношение площадей.

2. Математическое содержание телесного угла.

Конкретизируем коническую поверхность. Пусть это будет коническая поверхность с кругом в поперечном сечении. Для определения значения телесного угла при вершине конической поверхности БСЭ предлагает такое выражение:

2π[1 − cos(α/2)]    ,   ( 2 )

где α − угол раствора конуса при вершине. Из выражения (2) следует, что телесный угол является функцией только угла раствора конуса, и никакие пространственные линейные величины его не определяют. Согласно выражению (2) телесный угол также должен быть безразмерным, так как число π в математике безразмерно.

3. Определяющее уравнение для телесного угла в физике.

Рассмотрим телесный угол с точки зрения физики. Это означает, что телесный угол будет определять углы поворота реального тела, являющиеся псевдовекторными величинами.

Пусть на рисунке один из лучей боковой поверхности конуса, вырезанного из поворачивающегося тела, поворачивается в продольном сечении конуса на угол поворота φ1 до противоположной стороны конической поверхности, образуя при этом плоский угол φ1 . Псевдовектор угла поворота φ1 перпендикулярен оси симметрии конуса.

Пусть после этого рассматриваемый плоский угол φ1 поворачивается вокруг своей оси на угол поворота φ2 , равный одному полному обороту. Псевдовектор угла поворота φ2 коллинеарен оси конуса. В результате этих двух поворотов получается круговая коническая поверхность, телесный угол при вершине которой и требуется определить.

Псевдовектор телесного угла Ω пропорционален псевдовекторам обоих углов поворота: φ1 и φ2 . Однако телесный угол не может быть скалярным произведением, так как угол между векторами φ1 и φ2 равен 90º, а cos90º = 0. Остается допустить, что телесный угол Ω является векторным произведением. При перемножении двух псевдовекторов получается псевдовектор

Ω = [φ1 φ2 ] , ( 3 )

изображенный на рисунке. Уравнение (3) является определяющим уравнением для телесного угла как физической величины. Поскольку модуль угла поворота φ2 = 2π, то, согласно уравнению (3), модуль телесного угла

Ω = φ1 φ2 sin90º = 2πφ1 . ( 4 )

4. Размерность и единица телесного угла.

Размерность угла поворота, как описано в статье, посвященной углу поворота, имеет символ А. Значит, размерность телесного угла, согласно уравнению (4), равна А2. Отсюда единица телесного угла − об2. В СИ это соответствовало бы единице рад2.

Замена круговой конической поверхности любой другой конической поверхностью лишь усложнит математическую запись уравнения (3) за счет введения безразмерных коэффициентов, но не поменяет размерность телесного угла.

В СИ единицей телесного угла сейчас является стерадиан (ср). То есть вместо того, чтобы говорить о том, что полный телесный угол равен 4π ср, можно говорить о том, что он равен 4π рад2. И это соответствует практике измерений, поскольку во всех справочниках значения телесного угла приводятся в квадратных угловых градусах, квадратных угловых минутах и квадратных угловых секундах. Так что от применения единицы измерений стерадиан (ср) вообще можно отказаться.

К аналогичному выводу приходит и М.Фостер (2010), полагая, что единица ср для телесного угла может определяться как специальное название для единицы рад2.

5. Теория шкал не обязывает использовать единицу стерадиан.

Рассмотрим утверждение из работы Л.Брянского, А.Дойникова и Б.Крупина (1999): “Радиан и стерадиан – единицы измерений величин, описываемых абсолютными шкалами, и поэтому принципиально безразмерны“.

Согласно теории шкал тех же авторов (Л.Брянский, А.Дойников и Б.Крупин, 1993), абсолютные шкалы применяются для отношений одноименных величин, то есть, величин, имеющих одну и ту же размерность. Однако в статье, посвященной орбитальному перемещению, показано, что путь, пройденный по криволинейной траектории, и радиус кривизны траектории имеют различные размерности. По этой причине, согласно той же теории шкал, к ним нельзя применять абсолютные шкалы.

Измерение таких физических величин, как угол поворота и телесный угол, осуществляется, выражаясь в терминах теории шкал измерений, на базе шкал разностей (интервалов), для которых нуль шкалы устанавливается по соглашению, а диапазон шкалы определяется реальными потребностями (Л.Брянский, 2002). Из этого следует, что вопрос о том, какими единицами следует пользоваться для измерения угла поворота и телесного угла, – тоже дело соглашения. Принятое в СИ соглашение о том, чтобы принять в качестве единицы угла поворота единицу радиан, а в качестве единицы измерений телесного угла стерадиан, является именно соглашением, и не более того. И поэтому с ним вполне можно и не соглашаться.

Литература

1. Брянский Л.Н., 1993, Кое-что о размерностях единиц измерений. – Законодательная и прикладная метрология, 3.
2. Брянский Л.Н., Дойников А.С., Крупин Б.Н., 1999, О “размерностях” безразмерных единиц. – Законодательная и прикладная метрология, 4, с.с. 48-50.
3. Брянский Л.Н., 2002, Непричесанная метрология. М.: ПОТОК-ТЕСТ, 160 с.
4. Чертов А.Г., 1990, Физические величины. – М.: Высшая школа, 336 с.
5. Foster M.P., 2010, The next 50 years of the SI: a review of the opportunities for the e-Science age. Review Article. Metrologia, 47, R41–R51



© И. Коган Дата первой публикации 15.03.2008
Дата последнего обновления 20.02.2012


Оглавление раздела Предыдущая Следующая